Didáctica de la enseñanza de la Geometría

DIDÁCTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Hildebrando Luque Freire

Foto: Aprendiendo con el profefaber

 

Los profesores han observado que hay alumnos que pueden reconocer un cuadrado pero no definirlo. Igualmente hay alumnos que no entienden que un cuadrado es un rectángulo o que no entienden por qué deben demostrar algo que ya "saben" acerca de las propiedades geométricas.

Nuestro cuerpo ocupa un lugar en el espacio como todo lo que es materia, independientemente de su fase. Nuestros movimientos y en general todos los fenómenos naturales de dan en el espacio tridimensional de nuestro universo. La percepción de los fenómenos, así como del espacio y sus propiedades, constituye información que debe ser procesada en nuestros cerebros para la comprensión y la decisión de acción (caminar, coger, pintar, bailar, saltar, etc.). Ello obliga a construir paulatinamente en nuestros cerebros una representación del espacio en que vivimos, la cual empieza desde que nacemos, continua permanentemente a través de los sentidos y necesita ser acompañada por una serie de actividades apropiadas para lograr tal fin. La denominada imaginación tridimensional, entre otros muchos aspectos, es el resultado de nuestras experiencias espontáneas o escolarizadas.

La representación que construimos en nuestros cerebros está basada en la geometría de Euclides que tiene más de 20 siglos de elaborada, además de las geometrías topológica y proyectiva.

FORMAS DE CONCEPTUALIZAR LA GEOMETRÍA

Hay varias formas de conceptualizar la Geometría:

Ø  Geometría como un estudio de la visualización, del dibujo y construcción de figuras.

Ø  Geometría como estudio del mundo real, del mundo físico.

Ø  Geometría como un vehículo para la representación de conceptos matemáticos o de otros conceptos cuyo origen no es físico o visual.

Ø  Geometría como ejemplo de un sistema matemático bien estructurado.

RECOMENDACIONES PARA ENSEÑAR LA GEOMETRÍA

Los estudios, investigaciones, experiencias y teorías aconsejan tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:

a)    Enseñar los inicios de la Geometría de la misma manera que se enseña los inicios del álgebra y el cálculo; es decir, sin excesivo énfasis o rigor.

b)    Usar diagramas o gráficos en todas las explicaciones, especialmente en las demostraciones de propiedades.

c)    Eliminar el verbalismo (conocer sólo las palabras o términos o nombres sin conocer y comprender los contenidos conceptuales) y evitar la elaboración de lo obvio.

d)    Relacionar la Geometría con todas las áreas de matemáticas y del mundo físico real.

e)    Llegar al corazón de la Geometría tan pronto como sea posible tomando en cuenta y respetando las etapas evolutivas del pensamiento del niño y el adolescente.

a)    Posponer u omitir las demostraciones de algunos teoremas (propiedades) difíciles.

b)    Ofrecer muchos problemas de grado de dificultad intermedia para uso en clases.

c)    Usar en el grado que corresponda las técnicas del álgebra y la geometría analítica así como los métodos euclideanos clásicos.

I.  NIVELES DE COMPRENSIÓN DEL MODELO DE VAN HIELE.

El modelo de Van Hiele para la enseñanza de la Geometría comprende cinco niveles de comprensión relacionados con los procesos de pensamiento. Estos niveles son:

            1. Visualización

            2. Análisis

            3. Deducción informal

            4. Deducción formal

            5. Rigor

Nivel 1: Visualización

·         Los estudiantes son conscientes del espacio como algo existente alrededor de ellos.

·         Los objetos geométricos son vistos como entidades totales y no tanto las componentes y atributos de los mismos.

·         Los alumnos aprenden vocabulario geométrico, identifican formas y dada una figura la pueden reproducir.

Nivel 2: Análisis

·         Se inicia un análisis de los conceptos geométricos.

·         A partir de la observación y la experimentación concreta y directa, los estudiantes empiezan a discernir sobre las características de los objetos y las figuras.

·         Las propiedades emergentes de la experiencia concreta son usadas para conceptuar clases de formas.

·         Se reconoce que los objetos y las figuras tienen partes y que son reconocidas por esas partes.

·         No se pueden explicar las relaciones entre las propiedades.

·         Aún no se ven las interrelaciones entre los diferentes objetos y figuras.

·         No se entienden todavía las definiciones rigurosas.

Nivel 3: Deducción informal

·         Se pueden establecer las interrelaciones entre las propiedades de cada objeto o figura y también entre los objetos y las figuras.

·         Se pueden deducir propiedades de un objeto o una figura y reconocer las clases de objetos y figuras.

·         Se comprenden las clases de inclusión (clasificación según un criterio).

·         Las definiciones operacionales tienen significado y son comprendidas.

·         Se pueden dar y seguir argumentos informales acerca de los conceptos.

·         Los resultados obtenidos empíricamente se usan junto con técnicas deductivas.

·         No se comprende el significado de la deducción como un todo o el rol de los axiomas.

·         Las demostraciones formales pueden entenderse, sin embargo no saben cómo puede alterarse el orden lógico.

·         No ven cómo construir una demostración partiendo de premisas diferentes o no familiares.

Nivel 4: Deducción formal

·         Se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer la teoría geométrica dentro de un sistema axiomático.

·         Se ven las interrelaciones y roles de los términos indefinidos, axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones.

·         Los alumnos pueden construir demostraciones usando más de una manera.

·         Se entiende la interrelación entre las condiciones necesarias y suficientes.

·         Se distingue entre una proposición y su recíproca.

Nivel 5: Rigor

·         El alumno puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos y compararlos

II.   PROPIEDADES DEL MODELO

El modelo enfatiza aspectos importantes en el desarrollo de la formación del pensamiento geométrico.

1. Secuencialidad

De acuerdo a la mayor parte de teorías del desarrollo, cada alumno debe pasar por todos los niveles, en orden.

Para funcionar exitosamente a un nivel particular, el alumno debe haber adquirido las estrategias de los niveles precedentes.

2. Avance

El progreso de un nivel a otro depende más de los contenidos y métodos de instrucción que de la edad.

No hay método pedagógico que permita que un alumno ignore un nivel.

3. Intrínseco y extrínseco

Los objetos geométricos trabajados en un nivel, siguen siendo objetos de estudio en el siguiente.

4. Lingüística

Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones que conectan los símbolos.

Una relación que es "correcta" a un nivel puede ser modificada a otro nivel.

5. Concordancia

Si el alumno está a un nivel y la instrucción está en otro nivel, puede no ocurrir el aprendizaje y progreso deseado.

III.   FASES DEL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA

El método y la organización de la enseñanza, así como el contenido y los materiales usados son problemas pedagógicos a resolver teniendo las siguientes fases como guías.

Fase 1: Interrogación

El profesor y los alumnos conversan sobre los objetos de estudio del nivel.

Se hacen observaciones, se plantean preguntas y se introduce un vocabulario específico al nivel.

El profesor se informa del conocimiento previo que tienen los alumnos sobre el tópico.

Fase 2: Orientación dirigida

Los alumnos exploran el tópico de estudio con materiales que el profesor ha secuenciado cuidadosamente.

Las actividades deben revelar gradualmente al alumno las estructuras características del nivel.

Fase 3: Explicación:

Los alumnos expresan e intercambian sus visiones emergentes sobre las estructuras que han sido observadas, construyendo sobre sus experiencias previas.

El rol del profesor es mínimo, reduciéndose a asistir a los alumnos en el uso cuidadoso y apropiado del lenguaje.

Fase 4: Orientación libre

Los alumnos enfrentan retos más complejos. Retos con muchos pasos que pueden ser resueltos de varias formas.

Los alumnos encuentran sus propios caminos para resolver retos.

Orientándose ellos mismos en el campo de la investigación, muchas relaciones entre los objetos de estudio se hacen explícitas a los alumnos.

Fase 5: Integración

Los alumnos revisan y resumen lo que han aprendido sobre los objetos y sus relaciones, con el objetivo de tener una vista panorámica.

El profesor puede apoyar esta síntesis exponiendo visiones globales.

Es importante que los resúmenes no incluyan algo nuevo.

EJEMPLO.

ACTIVIDADES ILUSTRATIVAS DE LAS FASES DE APRENDIZAJE

Tema: Rombo

1.    Interrrogación

Propósitos

·         El profesor se informa de los conocimientos previos de los alumnos acerca del rombo.

·         Los estudiantes conversan acerca de qué dirección tomará el estudio del rombo.

Método

·         Conversación profesor-estudiante sobre el rombo.

·         Se hacen observaciones de variados tipos.

·         Se plantean preguntas de contenidos diferentes.

·         Se introduce el vocabulario específico para el grado o nivel de estudios.

Preguntas

¿Qué es un rombo?

¿Qué es un cuadrado?

¿Qué es un paralelogramo?

¿En qué se parecen las tres figuras?

¿Cuáles son las diferencias de las tres figuras?

¿Crees que el cuadrado es un rombo?

¿Puede un rombo ser un cuadrado?

2.    Orientación dirigida

Propósito

Realizar actividades para que se revele gradualmente las estructuras características de este nivel.

Método

·         Los alumnos exploran el tópico (rombo) a través de materiales secuenciados cuidadosamente.

·         Retos cortos para respuestas específicas.

Construir un rombo con diagonales iguales.

Construir un rombo más grande y otro más pequeño

Construir un rombo con cuatro ángulos rectos; con tres; con dos, con uno.

3.    Explicación

Propósito

Los alumnos expresan e intercambian sus puntos de vista sobre las estructuras (rombo) observadas en su experiencia previa.

Método

El rol del profesor es dirigir la conversación ayudando a introducir un lenguaje preciso y apropiado.

Los alumnos discuten entre sí y con el profesor las propuestas de las figuras que aparecieron en las actividades.

4.    Orientación libre

Propósito

Los alumnos desarrollan retos más complejos (con varios pasos).

Método

El profesor alienta y dirige la discusión orientando las acciones.

Doblar un papel dos veces. ¿Qué figura se obtiene al cortar el vértice común?

Imaginar antes de cortar; justificar la respuesta.

¿Qué figuras se obtienen al cortar a 30º y a 45º?

5.    Integración

Propósito

Formar una visión de la nueva red de figuras u objetos y sus relaciones.

Método

Los alumnos revisan y resumen lo que han aprendido.

Se resume las propiedades del rombo y se revisan sus orígenes.

MATERIALES

Papel

Cañitas

Tangram

Geoboards

Frillas

Rompecabezas

Otros.