LA
MULTIPLICACIÓN
Hildebrando Luque Freire
2 veces 3
INTRODUCCIÓN
Después de conocer los números de la
primera decena, incluyendo el cero, y las operaciones inversas de suma y resta,
los alumnos están preparados para la comprensión intuitiva de la multiplicación
como sumas sucesivas y la división como restas sucesivas.
Aún se está lejos de comprender
completamente los conceptos de multiplicación y división, así como dominar los
automatismos de ambas operaciones a lo cual se arribará en tercer grado.
Se ha argumentado que los motivos para
no iniciar el estudio de la multiplicación y la división en primer grado han
sido que los símbolos matemáticos son demasiado abstractos para niños pequeños.
En lugar de ello se ha preferido profundizar la comprensión de las operaciones
de suma y resta con todas sus significaciones dentro del campo del 100 y aún
más.
Sin embargo, los estudios revelan que
es conveniente introducir las cuatro operaciones matemáticas en el primer grado
porque el desarrollo del concepto de número requiere conocer la mayor cantidad
de componentes, factores y expresiones del número. Por ejemplo, el concepto del
número 6 está mejor sustentado en el niño que conoce significativamente no
solamente las diferentes expresiones para el 6 como 4 + 2;
5 + 1; 2 + 2 + 2; 7 – 1; 8 -2, etc. sino también otras como 6
x 1; 3 x 2; 1 x 6; 2 x 3.
Es cierto que es importante evitar introducir
símbolos adicionales en edades tempranas como conocimiento mecánico y no
significativo. El hecho que los niños “sepan” resolver algunos ejercicios de
multiplicación dentro de un campo reducido de números no significa que los
niños comprenden lo que hacen.
Debemos asegurarnos que las actividades
planeadas, partiendo de la suma, lleven a los niños a la correcta comprensión
de las dos nuevas operaciones. En la segunda mitad del año escolar hay que
aportar “la comprensión intuitiva de la
multiplicación y la división”.
El símbolo de la división será
aprendido solamente en las clases avanzadas. Con los ejercicios de división se
avanza de acuerdo a la habilidad de la clase.
No se debe enseñar multiplicación y
división antes de terminar la primera decena y que los niños dominen
profundamente la suma y la resta. Así mismo, la multiplicación y la división se
aprenden en dos etapas. En la primera etapa se hace en forma intuitiva, sin
escritura de signos matemáticos de las operaciones. En la segunda etapa se
introduce la expresión escrita usando los símbolos de las operaciones x; :. Introducir
el símbolo de división (:) en el primer grado depende del juicio de la
profesora de acuerdo a la capacidad de la clase. Es decir, se puede posponer el
uso del signo para el segundo grado. El estudio de la multiplicación y la
división aparece por primera vez después de terminar la primera decena sin los signos
de las operaciones; la segunda vez aparece después del aprendizaje de la
segunda decena usando los signos de las operaciones. De allí en adelante se
aprende las cuatro operaciones de la matemática.
Así como la suma y la resta fueron
aprendidas juntas, así mismo se aprenderá la multiplicación y la división
juntas como operaciones inversas. Los alumnos comprenderán la multiplicación
como una escritura abreviada para la suma de sumandos iguales.
2 + 2 + 2 se escribe 3 x 2 y se lee “tres veces
dos”. De ninguna manera hay que usar la palabra “por”.
Todo el aprendizaje esta basado sobre
el pensamiento concreto realizando actividades con objetos concretos.
DESCOMPONER
CONJUNTOS EN SUBCONJUNTOS IGUALES DENTRO DEL CAMPO DEL 10. LA MULTIPLICACIÓN
COMO UNA OPERACIÓN CORTA DE SUMA DE SUMANDOS IGUALES SIN LA ESCRITURA DEL
SÍMBOLO X
a) Ejercicios de rapidez. Los niños muestran
tarjetas dominó pares.
“¿Qué
tarjeta tienes en tus manos?” 8
“¿Cuántas
parejas ves en tu tarjeta?” 4
b) “Les voy a mostrar regletas: 1; 3; 2;
4; 5”
“Muéstrenme
una regleta que sea dos veces mayor”.
c) Ejercicios de memoria: “¿En cuál de las tarjetas dominó
vieron 2 (3; 1; 5; 4) pares?”
“¿Qué regleta
es dos veces mayor que la regleta 3 (1; 4; 5)?”.
Actividades 2
a) Salen adelante 6 niños y se forman
parejas. Un niño los va a contar: 2+2+2.
“¿Cuántas
veces 2 has contado?” 3
“¿Cuántos
son 3 veces 2?” 6
Lo
mismo se hace con 8 y con 10 niños.
b) Se paran 6 niños y se forman tríos. Un
alumno los va a contar: 3 + 3
“¿Cuántas
veces 3 has contado?” 2
“¿Cuántos
son 2 veces 3?” 6
Lo
mismo se hace con 9 niños.
c) Repetir la experiencia al separar 8
niños en cuartetos y a 10 niños en quintetos.
Actividades 3
a) Se ponen 6 círculos sobre la mesa y se
los separa en grupos iguales de 2 círculos cada uno.
“¿Cuántas
veces 2 hay en 6?” 3
Expresarlo
en dos formas: con “más” y con “veces”:
2
+ 2 + 2 = 6
3
veces 2 = 6
Lo
mismo con 8 círculos y con 10 círculos.
b) Se toman 5 regletas de 2 y las van a
poner una a continuación de la otra, unidas por los extremos.
“¿Cuál
es el largo del “tren” que construyeron?” 10
“¿A
cuánto es igual 5 veces 2?” 10
Expresarlo
de dos formas:
2
+ 2 + 2 + 2 + 2 = 10
5
veces 2 = 10
Repetición
de esta actividad con 4 regletas de 2; con 3 regletas de 2 y con 2 regletas de
2.
c) Los niños van a dibujar en los
cuadernos 2 veces 3 círculos, 2 veces 4 triángulos, 2 veces 5 cuadrados, 3
veces 2 líneas y van a escribir al lado de cada conjunto cuanto hay en el: 2
veces 3 = 6
Actividades 4
Trabajo:
cortar de la hoja de círculos.
a) Se reparte entre los niños una hoja
con círculos dibujados y se les pide encerrar con lápiz una vez 2, después 2
veces 2, 3 veces 2, 4 veces 2 y 5 veces 2. Se corta la parte de la hoja que
tiene los círculos encerrados con líneas curvas. Los niños tienen ahora cinco
papelitos. El papelito donde hay 2 veces 2 se pinta 2 círculos de un color y 2
de otro color. Lo mismo se hace con los demás papelitos. Al final se ejecuta
las siguientes acciones.
“Pongan sobre
la mesa los papelitos que han cortado”
“Levanten un
papel con 3 veces 2”
“¿Cuántos son
en total?”
“Levanten un
papel con 4 veces 2”
“¿Cuánto son en
total?”, etc.
Estos papelitos
hay que guardar en una caja ya que en próximas clases se los utilizará para
identificar los múltiplos del 2 hasta el 10 y los múltiplos del 3 hasta el 9.
b) Trabajar con figuras dibujadas o con
el libro. Encerrar subconjuntos de 2 en cada conjunto. Después los alumnos van
a expresar oralmente lo que hicieron: “¿Cuántas veces 2 hay en 6 aviones?”
Después de la expresión oral se escribe dos expresiones, una con “más” y la otra
con “veces”.
Nota:
Descomponer un conjunto en subconjuntos iguales es una descomposición. Separar
el conjunto en subconjuntos no iguales
es una separación. A
propósito estamos usando los términos descomposición y descomponer porque en
los años que vienen se trabajará con los conceptos de números compuestos (que
se pueden descomponer), factores y divisores de un número.
LA
PROPIEDAD CONMUTATIVA EN LA MULTIPLICACIÓN
Actividades 5
a) Ejercicios de rapidez: Muestra una
tarjeta de dominó que tenga 2 veces 2, otra con 3 veces 2, otra con 4 veces 2, otra
con 5 veces 2. Muestra una tarjeta que tenga 2 veces 3, 3 veces 3. Muestra una
tarjeta que tenga 2 veces 4, 2 veces 5.
b) Voy a escribir en la pizarra
ejercicios con “más” y escriban ustedes lo mismo con “veces”
1
+ 1 + 1 + 1 + 1 5 + 5 4
+ 4
3
+ 3 + 3 3 + 3 2 + 2 +2 + 2
Actividades 5
a) 6 alumnos se agrupan en parejas.
Después se dispersan y se agrupan formando tríos.
“¿Ahora
hay más niños o menos?” Hay igual.
Los
mismos 6 niños que antes estaban agrupados en tres parejas (3 veces 2) están
ahora agrupados en dos tríos (2 veces 3). Por tanto:
3 veces 2 = 2
veces 3
b) Repetir esta actividad con 8 alumnos
para mostrar que:
4
veces 2 = 2 veces 4
c) Repetir la actividad con 10 alumnos y
mostrar que:
5
veces 2 = 2 veces 5
Actividades 6
La propiedad conmutativa en la
multiplicación.
a) Se arreglan sobre un cuaderno 6
círculos en dos filas iguales.
O O O
O O O
“¿Cuántos hay en la primera fila?” 3
“¿Cuántos hay en la segunda fila?” 3
“¿Cuántas veces 3 hay?” 2 veces 3
b) Ahora van a girar el cuaderno con los
círculos hasta tener una forma diferente:
O O
O O
O O
“¿Cuántos
círculos hay en la primera fila?” 2
“¿Cuántos
círculos hay en la segunda fila?” 2
“¿Cuántos
círculos hay en la tercera fila?” 2
“¿Cuántas
veces 2 hay?” 3 veces 2
“¿Cuántos
tríos vieron antes?” 2
“¿Cuántas
parejas se ve ahora?” 3
“¿Qué es más
3 veces 2 ó 2 veces 3?” Igual
c) Repetir la actividad con 8 círculos y
con 10 círculos.
Actividad 7
Se
toman 5 regletas de 2 y se las une por los extremos. Se toma 2 regletas de 5 y
se las une por los extremos.
“¿Cuál
tren es más largo?” Son iguales.
“¿De
qué fue construido el primer tren?” De parejas.
“¿De
qué el segundo tren?” De quintetos.
De
acuerdo al primer tren 5 veces 2 = 10
De
acuerdo al segundo tren 2
veces 5 = 10
La
conclusión final será que 5 veces 2 = 2
veces 5
Actividades 8
a) Se van a dibujar en los cuadernos 2
veces 4 círculos azules. Después se dibujan 4 veces 2 círculos rojos.
“¿En
qué dibujo hay más círculos?” Igual.
2
veces 4 = 4 veces 2
b) Se van a dibujar en los cuadernos 2
veces 3 cuadrados verdes. Después se dibujan 3 veces 2 cuadrados rojos.
“¿En
cuál de los dibujos hay más cuadrados?” Igual.
2
veces 3 = 3 veces 2
c) Se van a dibujar 2 veces 5 círculos.
Se van a dibujar 5 veces 2 cuadrados.
“¿Hay
más círculos que cuadrados?” No.
“¿Qué
es igual a qué?”
2
veces 5 = 5 veces 2
Actividades 9
a) Cada niño recibe una hoja que tenga 2
filas de 10 círculos. En la primera fila van a pintar 5 círculos de un color y
5 de otro color: 2 veces 5.
En la segunda fila van a pintar cada 2
círculos de diferente color: 5 veces 2
Se pega la hoja en el cuaderno y se
escribe al costado:
2 veces 5, 5 veces 2.
Debajo se escribe 2 veces 5
= 5 veces 2
b) Lo mismo con una hoja de dos filas de
8 círculos cada una.
c) Lo mismo con otra hoja de 2 filas de 6
círculos cada una.
Actividades 10
a) Ejercicios de rapidez. “Muestra una
tarjeta dominó que tenga 3 veces 3, 2 veces 4”, etc.
b) “Muestra una regleta que sea dos veces
más grande que la regleta que yo tengo en mis manos: 2; 3; 4; 5”.
c) Ejercicios de memoria: “¿En qué
tarjeta dominó se puede ver 4 parejas? ¿2 quintetos? ¿3 tríos? ¿5 parejas? ¿2
tríos? ¿2 cuartetos?”
Actividades 11
a) Se toman 6 palitos mondadientes y se
descomponen en conjuntos de 2 palitos.
“¿Cuántos
conjuntos de dos hay?”
Lo
mismo con 8 y con 10 palitos mondadientes.
“¿Cuántas
veces 2 hay en 6? ¿En 8? ¿En 10?”
b) Otra vez se toman 6 palitos
mondadientes y se construyen triángulos.
“¿Con
cuántos palitos han construido un triángulo?” “¿Cuántos triángulos se puede
construir con 6 palitos?” “¿Cuántas veces 3 hay en 6?”
Repetir
la actividad con 9 palitos mondadientes.
c) Se toman 8 palitos mondadientes y se
construyen cuadrados.
“¿Con
cuántos palitos se construye un cuadrado?”
“¿Cuántos
cuadrados se puede construir con 8 palitos?”
“¿Cuántas
veces 4 hay en 8?”
Actividades 12
a) “Muestra una regleta que se pueda
cortar en 2 regletas de 2”
“Muestra
una regleta que se pueda cortar en regletas de 3 (de 4, de 5)”
“Muestra
una regleta la cual se pueda cortar en 3 regletas de 3 (2 regletas de 4, 2
regletas de 5)”
b) En una fila hay 6 carpetas. “¿Cuántos
niños están sentados en esta fila si en cada carpeta se sientan 2 niños?”
c) En el salón hay 3 ventanas. Sobre cada
ventana hay 3 macetas. “¿Cuántas macetas hay en todas las ventanas juntas?”
Actividades 13
a) Juan tiene dos filas de colores en una
caja y en cada fila hay 4 colores.
“¿Cuántos
colores hay en su caja?”
b) Ana y Juan usaron 2 baldes para regar
el jardín. Echaron el agua de 8 baldes.
“¿Cuántas
veces llenaron los 2 baldes con agua?”
c) Sobre la mesa hay un molde con 10
huevos.
“¿Para
cuántos días alcanzan los huevos para una familia grande que consume 5 huevos
diarios?”
“¿Para
cuántos días alcanzarán estos mismos huevos para una familia corta que consume
2 huevos diarios?
d) Repetir la experiencia y las preguntas
para 8 huevos (6 huevos).
e) La profesora enseña a los niños una
barra de chocolate que está dividida en 9 tabletas chicas.
“¿Para
cuántos niños alcanzará esta barra si se da a cada niño 3 tabletas chicas?”
Actividades 14
Trabajo
con láminas o con figuras del libro. No hay que preguntar inmediata Y directamente
a los niños: ¿cuántas parejas se pueden ver en 6? ó ¿cuántos tríos ves en 6?
En
general los niños no ven inmediatamente en el conjunto las parejas o los tríos.
Primero deben encerrar con un lápiz en el primer conjunto las parejas, en el
segundo conjunto los tríos, etc. Después vendrán las preguntas antes
mencionadas.
Actividades 15
Anteriormente
se aprendió que sumar es avanzar sobre la recta numérica de un número a un
número mayor. También la multiplicación es avanzar sobre la recta numérica con saltos iguales. Los arcos indican
los saltos iguales.
Por
ejemplo 2 veces 2 es igual a 2 + 2.
También
3 veces 2 es igual a
2 + 2 + 2.
El
primer número en la multiplicación 3 veces 2 expresa el número de los arcos
iguales y el segundo número expresa el largo de cada arco.
Al
hablar de esta forma existe ya la preparación para la comprensión de la función
del multiplicando y el multiplicador en las expresiones de la multiplicación
pero todavía no hay que hablar sobre esto con los niños.
