Métodos
MÉTODO DE ENSEÑANZA DE
LAS MATEMÁTICAS EN PRIMARIA
Hildebrando Luque Freire
 |
| Foto: Minedu |
RESUMEN
Este documento es fundamental y explica el
método que promoveremos en la enseñanza de las Matemáticas. No es una novedad
completa pero tiene el respaldo de haber sido aplicado en diferentes
poblaciones de alumnos con resultados bastante buenos en la construcción de una
base matemática sólida en los primeros grados de Primaria y sus efectos multiplicativos
en la Secundaria y la Universidad.
INTRODUCCIÓN
En nuestros tiempos sigue ocurriendo una
revolución en los métodos de enseñanza debido a varias razones:
1. El
desarrollo de las ciencias sigue extendiendo la dimensión del conocimiento y
jamás conseguiremos enseñar todo el material ni comunicar el progreso de la
ciencia y sus innovaciones. Surgieron tendencias que defienden el desarrollo
del pensamiento creativo, puesto que no se puede convertir a los niños en
enciclopedias andantes por medio de la acumulación de conocimientos y detalles
en sus cerebros, sino que debemos enseñarles los principios, las relaciones y
las estructuras que aplicarán en los problemas del aprendizaje y de la vida.
Bruner: La calidad, y no la cantidad, es importante.
2. Las
investigaciones psicológicas han aclarado los procesos a través de los cuales
se desarrolla el razonamiento abstracto y se crean las nociones y los conceptos
de base. Las conclusiones indican la relación existente entre la experiencia
concreta y manipulativa del niño y el desarrollo de su capacidad de
razonamiento, arrojando así nueva luz sobre la actividad en la enseñanza.
Piaget: El razonamiento no se
desarrolla sino por medio de la acción.
3. El
fenómeno de la actividad social ayuda a explicar los cambios en la conciencia y
fundamenta una teoría psicológica que unifica el comportamiento y la mente. El
entorno social influye en la cognición por medio de sus "
instrumentos", es decir, sus objetos
culturales, su lenguaje y sus instituciones sociales. El cambio
cognoscitivo es el resultado de utilizar los instrumentos culturales y el
entorno en las interrelaciones sociales y de internalizarlas y transformarlas
mentalmente.
Vigotsky: El aprendizaje es consecuencia la interacción
de los individuos y su entorno.
4. La
importancia de la orientación constructivista constituyó sin duda, el consenso
emergente en la enseñanza de las matemáticas y las ciencias naturales y sigue
siendo una aportación relevante. Esta orientación está basada en tres
principios:
a)
Quienes
aprenden construyen significados. No reproducen simplemente lo que leen o lo
que escuchan cuando se les enseña.
b)
Comprender
algo supone establecer relaciones. Los fragmentos de información aislados son
olvidados o resultan inaccesibles a la memoria.
c)
Todo
aprendizaje depende de los conocimientos previos del que aprende, no del que
enseña.
5.
Desarrollar la comprensión significa realizar desempeños usando los
conocimientos previos para resolver problemas
nuevos en situaciones inéditas.
La Enseñanza para la Comprensión desarrolla cuatro ideas clave: tópicos
generativos, metas de comprensión, desempeños de comprensión y evaluación
diagnóstica continua.
Howard Gardner: La Enseñanza para la Comprensión es una
propuesta educativa para inculcar en los estudiantes la comprensión de las
principales formas del pensamiento de
las disciplinas: ciencia, matemáticas, arte e historia.
CARACTERÍSTICAS
DEL MÉTODO DE ENSEÑANZA
Espíritu del Método.
El método se fundamenta sobre principios de
aprendizaje y razonamiento generales producto de las investigaciones psicológicas.
Este es un método ambiental, en el sentido que extrae sus temas del marco de
intereses diarios del niño, los cuales están adaptados a su edad y producen en
él curiosidad y deseos de ocuparse de ellos. En todo tema seleccionado del
ambiente, hallamos la significación matemática; sobre la base de esa misma
significación matemática, planteamos problemas realistas adicionales, los
cuáles la amplían y profundizan desde lo concreto a lo abstracto, y de lo
abstracto de vuelta a lo concreto, que posibilita su ampliación. El niño
desarrolla interés en el número mismo, comprende las relaciones entre los
números y procede según las leyes matemáticas; así, él desarrolla gradualmente
un razonamiento matemático como
parte de su formación matemática.
Características del trabajo en clase.
En la clase reina una atmósfera de
laboratorio. La enseñanza no se basa en el verbalismo y la actitud frontal,
sino en la actividad propia, individual y grupal. La finalidad es conocida por el
profesor y está clara para el alumno. Se conserva el suspenso de desafíos a lo
largo de toda la lección.
Cada niño actúa con medios concretos, a su
manera y de acuerdo a su propia iniciativa. Las maneras diversas son
presentadas ante la crítica colectiva (y no del profesor). La comprobación es observable,
¿cuál está correcto y por qué?, ¿debido a qué se cometió alguna equivocación
específica? y así sucesivamente. El niño no titubea en presentar su enfoque
ante la crítica, puesto que la crítica es temática y no personal, y porque el
profesor alienta la expresión de opiniones.
El aprendizaje se realiza a través del
descubrimiento personal de las relaciones, conexiones, leyes, principios y
estructuras matemáticas. Cuando el niño realiza una tarea para descubrir algo,
él es activo, tiene iniciativa y participa en la formación de la idea
matemática. Consecuentemente, él cultiva una "filosofía" e
independencia.
Los niños aprenden a expresarse en forma
verbal y a explicar sus conclusiones. La atmósfera positiva social, intelectual
y de estudios reinantes es reconocible por sus proyecciones también en otras asignaturas.
Por medio de las actividades matizadas, la discusión y la crítica de las
maneras diversas, se desarrolla una flexibilidad en el razonamiento de los
alumnos, la cual conduce a matizar las maneras en el niño mismo, y también lo
conduce a deducir un hecho después de otro. Cada niño seleccionará para sí la
manera adecuada y correcta, de entre las múltiples maneras presentadas en la
crítica frontal.
Posición del profesor
El profesor todavía no está en el centro de
la lección. Lo principal de su trabajo consiste en la planificación de las
unidades de aprendizaje, las lecciones diarias y en el acompañamiento del
suspenso para el aumento de la motivación, a la hora de la lección.
A la hora de la actividad concreta e
individual de los niños y su confrontación con el desafío, el profesor los
dirige en forma discreta por medio de comentarios o preguntas provocativas en
la dirección deseada; los anima a relatar lo que realizaron y lo que descubrieron,
los alienta a la crítica y a las discusiones. Las preguntas del profesor se
reducen a: "¿por qué?", "¿cómo puede ser?", "¿estás tú
seguro?", etc. las que obligan al niño a demostrar sus afirmaciones.
El profesor no explica, los niños explican. El
profesor no generaliza ni resume las conclusiones, sino que son los niños quienes
lo hacen, en su propio lenguaje, en palabras comprensibles para ellos. Así se
construyen las nociones primero y después los conceptos matemáticos.
FASES
DEL MÉTODO
1.
Fase concreta.
Los niños son
activos. Ellos no tienen que "atender y concentrarse", sino que actúan
por SÍ mismos con los objetos, comprendiendo claramente el objetivo.
Después de la
actividad individual o grupal viene la crítica colectiva, acompañada de la
expresión verbal. Esta es una traducción de la actividad concreta al lenguaje
coloquial. Un paso efectuado por algún alumno llega a la conciencia de todos,
por medio de la crítica colectiva.
Por lo general se
acostumbra que las acciones realizadas por un alumno no sean explicadas por él
mismo, sino por algún otro alumno, creando así una identificación.
2.
Fase representativa gráfica.
Luego
del análisis de la actividad, viene la etapa de la descripción gráfica, la
traducción del acontecimiento concreto a dibujos. Los objetos son representados
por dibujos cualesquiera acompañados por símbolos y signos matemáticos que
expresen las acciones realizadas. También aquí se realiza una crítica
colectiva, por medio de la analogía de descripciones diversas y sus análisis.
Así se
realiza la anexión de los dibujos estáticos a la actividad dinámica: “¿Observan
ustedes en el dibujo lo que ha ocurrido?”
3.
Fase abstracta.
La expresión
matemática usando los símbolos y signos propios es la etapa de
"abstracción”. Esta fase caracterizada por el uso del lenguaje matemático
prescinde de los gráficos y es analizada desde el punto de vista significativo
y aritmético.
Para asegurarse de
que los símbolos y signos no estarán desconectados de la realidad que los ha
creado, se buscará la dirección contraria: desde el lenguaje matemático hacia
el dibujo y de allí hacia la reconstrucción de la actividad. Esto tiene
orientaciones múltiples en los tipos de símbolos y en los grados de dificultad
de ellos.
La explicación verbal
sola carece de la fuerza para crear conceptos en la mayoría de los niños. Siempre
se deberá adjuntar la explicación verbal del niño al dibujo, una ilustración,
etc.
Para resumir: Los
alumnos están ocupados durante todo el desarrollo de la lección en actividades,
crítica, explicación, expresión de opiniones, dibujo, análisis, reconstrucción,
anotación en expresiones aritméticas y cálculos diversos. Ellos
"investigan", descubren y sacan conclusiones sobre la base de las manipulaciones
perceptivas.
Se sabe que el niño
se libera en forma gradual de la necesidad de la actividad muscular y de las manipulaciones
con objetos concretos y las representaciones gráficas. Desde el inicio de los
años de la adolescencia, él es capaz de actuar por medio de "operaciones
formales", que se expresan en actividades internas, en el trato abstracto
de símbolos, sin la necesidad de ayudarse con objetos ni con manipulaciones y
gráficos.
ESTRATEGIAS
O APROXIMACIONES INSTRUCCIONALES
El método implica tres posibles estrategias o
momentos que el profesor deberá seleccionar y aplicar en los tiempos que
considere pertinentes en el desarrollo de las lecciones.
1.
Matemática guiada.
El profesor modela y
guía a sus alumnos a través de un concepto o destreza matemática. La matemática
guiada NO es el foco primario de un programa o lección de matemáticas. Puede
ser usada en varios tiempos y para varios propósitos. Refuerza un concepto o
destreza específico. Introduce los nuevos conceptos y destrezas necesarios para
resolver un problema. Enseña convenciones específicas como la formación de numerales.
Modela el lenguaje matemático, el pensamiento matemático y la resolución de
problemas. Introduce procesos específicos como nuevas estrategias y algoritmos
particulares para uso de los alumnos.
2.
Matemática compartida.
Realización de
actividades por medio de una colaboración social en un esfuerzo grupal. Esto
trae consigo necesariamente la comunicación entre los niños mismos. Esta
comunicación es un factor cualitativo en el desarrollo intelectual. Se denomina
"cooperación", vale decir: operación común. Provee oportunidades a
los alumnos para aprender uno del otro. Promueve la discusión de ideas.
Involucra a los alumnos en trabajo colaborativo para resolver un problema o
investigar una idea matemática.
3.
Matemática independiente.
Los alumnos trabajan individualmente
para consolidar sus aprendizajes pero saben que pueden contar con la ayuda del
profesor cuando lo requieran. Permite que los alumnos trabajen a su propio
ritmo y desarrollen independencia, perseverancia y autoconfianza. Provee
oportunidades para que los alumnos desarrollen, consoliden y apliquen sus
propias estrategias o destrezas. Auspicia que los alumnos hagan elecciones de
forma independiente. Facilita que cada alumno pueda demostrar lo que sabe y lo
que puede hacer.
FINALIDADES
DE LA LECCIÓN
Deben enfatizarse dos tipos de objetivos
principales de las lecciones:
-
Objetivos concretos: Adquisición de conocimientos,
contenidos; ejercicios; adquisición de destrezas y técnicas en la solución de
problemas.
-
Objetivos formales: Desarrollo del razonamiento y de la
comprensión (tanto matemática como intelectual);
Todas las lecciones deben tener además
del desarrollo de nociones y conceptos, un tratamiento cuidadoso de
comparaciones y diferenciaciones, una creación de generalizaciones, un tratamiento
de relaciones, principios y estructuras matemáticas, el cultivo de un enfoque
flexible para la solución de problemas por medio de iniciativa personal, osadía
en la presentación de ideas y una actitud crítica para todas las actividades. La intención radica
en desarrollar la capacidad intelectual y adquirir maneras de razonamiento y
métodos de trabajo.
Para conseguir dichos objetivos, los profesores
deberán reflexionar acerca de sus moldes de trabajo anteriores y hacer una
evaluación consciente sobre aquellas partes que se sientan obligadas a
perfeccionar y actualizar.
Los profesores deben planificar debidamente
la lección, experimentar con sus propias manos lo que los niños están
destinados a experimentar posteriormente, estar conscientes de los objetivos
concretos y formales. La lección debe ser construida en una forma didáctica y correcta
de acuerdo con los principios de la enseñanza.
No solamente el qué es importante sino
principalmente el cómo.
No tenemos la intención de enseñarle al niño
mucho material; más bien pretendemos enseñarle cómo estudiar.
El profesor deberá encontrar maneras y
técnicas destinadas a cultivar una participación elevada de todos los niños de
la clase en el transcurso de la lección, en cada uno de los grados. Asimismo
debe cultivar y propiciar la iniciativa de cada niño, darle conciencia de
progreso y sentimiento de satisfacción en sus estudios.
Es lastimoso cada minuto de la lección que los
profesores invierten en indicar o dictarle al niño qué hacer; es como que si
los empujaran a los niños hacia atrás. La mejor explicación del mundo que venga
de boca del profesor, no convencerá al niño a conocer y comprender por ejemplo la
"conservación de la cantidad"; más bien, las muchas manipulaciones
que los alumnos realicen (mover, separar, juntar, etc.) sí convencerá al niño
que la cantidad no cambiará. Lo mismo ocurre en la comprensión de la propiedad conmutativa
de la suma y la multiplicación, la propiedad distributiva de la multiplicación
y la división, el concepto de operaciones inversas, etc.
La razón de la importancia de la actividad en
el aprendizaje es que a la edad de los niños corresponde la etapa de las
operaciones concretas. El niño puede razonar, elaborar comparaciones y llegar a
conclusiones, solamente en situaciones concretas; puede imaginar y preparar una
operación (razonamiento) en base a una situación concreta. El niño carece
todavía de un razonamiento abstracto.
ESTUDIO
DE LA ESTRUCTURA
El sistema de estudio del área de las
Matemáticas es el estudio de su estructura. El estudio de la estructura es el
estudio de las leyes, propiedades, reglas, conceptos, ideas y relaciones.
La suma, resta, multiplicación y división son
solamente la parte técnica del cálculo. Si enseñáramos el cálculo de tal manera
que en cada unidad de estudio, acercáramos el cálculo a la matemática por medio
del uso de las leyes y propiedades matemáticas, ésta sería la enseñanza de la
estructura. Por supuesto, la intención no es enseñar a niños conceptos y
propiedades matemáticas en sus formas convencionales, sino en sus usos.
El problema metodológico que se nos presenta
es ¿cómo hacer llegar las cuatro operaciones del cálculo a los alumnos para que
éstos descubran en ellas los conceptos básicos del curso?
Por ejemplo: Si los niños ponen un palito
separador en algún lugar entre 8 bolitas o chapitas, leerán por un lado, 5 + 3
que son 8 y del otro lado 3 + 5 que son 8, es decir que 5 + 3 = 3 + 5. (Regla
del cambio en la suma = propiedad conmutativa de la suma).
Si pasan el palito separador de un sitio a
otro, encontrarán distintos sumandos para la cantidad 8
4
+ 4 = 8 6 + 2 = 8 7 + 1 = 8
y según esto podrán anotar expresiones
equivalentes para la cantidad 8:
4
+ 4 5 + 3 6 + 2 7 + 1
y también igualdades como:
2
+ 6 = 3 + 5 = 1 + 7
Y si ponen 2 palitos separadores entre las 8 bolitas
y las dividen en 3 grupos, encontrarán 3 sumandos como 4 + 3 + 1, los cuales podrán agruparse así:
4
+ (3 + 1) = (4 + 3) + 1
(propiedad asociativa de la suma).
En un buen libro de Matemáticas, el profesor
podrá ver qué frecuente es el uso de las propiedades matemáticas:
conmutatividad, asociatividad, composición y descomposición de cantidades,
inversión de operaciones, etc. lo que indica el estudio de la estructura.
NOCIÓN
DE NÚMERO
La noción de número se aclarará por medio de
operaciones variadas desde el punto de vista ordinal, cardinal y relacional.
a) Noción ordinal
Un medio importante
en la enseñanza de la noción ordinal del número es la recta numérica. El niño
verá que cada número está encuadrado en un sistema de números y que además
tiene un lugar fijo en el ordenamiento.
Por ejemplo, 5 está
entre 4 y 6; 5 es mayor que 4 en uno y menor que 6 en uno; 5 está después del 3
y antes que el 8.
La enumeración de
carpetas según su orden, la enumeración de niños según el orden en que se
sientan, la enumeración de las páginas del libro, la enumeración de las hojas
del cuaderno, etc., todas éstas son operaciones para el conocimiento de la
noción ordinal del número.
Debemos diferenciar
claramente entre enumerar y contar.
Enumeración es la fijación de un número a cada uno de
los objetos según su orden. Contar es
la fijación de un número a toda la cantidad. La enumeración es posible al tomar
objetos de una caja y ordenarlos en fila, expresando un número por cada objeto.
Hay pues enumeración en el momento de estar tocando los objetos o usando
solamente la vista.
El peligro que existe
en la enumeración es la falta de coordinación entre enunciar oralmente el
nombre del número y la ubicación del objeto enumerado; asimismo en la elección
de tono y ritmo al decir los números en forma mecánica.
Debemos diferenciar
entre enumeración vocal-mecánica y enumeración conceptual-axiomática.
La recitación de los
números en forma ascendente y descendente, de uno en uno, dos en dos, etc. no
es señal de conocimiento de la enumeración conceptual.
Cuando el niño esté
en condiciones de completar rectas numéricas avanzando o retrocediendo o
encontrar relaciones entre números, estará llegando a la fase de la enumeración
conceptual.
b) Noción cardinal
La noción cardinal
del número significa el conocimiento de la cantidad asociada al conjunto. Toda
cantidad es la unión de unidades. Para conocer el número de unidades de las
cuales se compone el conjunto y las relaciones entre ellas, hay que trabajar
con el conjunto conservando su integridad.
Para esto es bueno
dividir el conjunto en varios
subconjuntos distintos y en subconjuntos iguales.
0
/ 0000 00 / 000 0 /
000 / 0 0 /
00 / 00
Descomposición: 5 = 1 + 4 5 = 2 + 3 5 = 1 +
3 + 1 5 = 1 + 2 +2 etc.
Composición: 1 + 4 = 5 2
+ 3 = 5 1 + 3 + 1 = 5 1 + 2 + 2 = 5 etc.
Igualdades: 1 + 4 = 2 + 3 = 1 + 3 + 1 = 1 + 2 + 2
= 5 etc.
Así los niños conocerán
todas las posibilidades de composición y descomposición de los números especialmente
de las dos primeras decenas.
Hay que acostumbrar a
los niños a la lectura en ambas direcciones, para afianzar la noción de cambio
de lugar en la suma y el acercamiento de los alumnos a la propiedad de
inversión de la operación.
1 + 4 = 5 2
+ 3 = 5 1 + 3 + 1 = 5 1 + 2 + 2 = 5
4 + 1 = 5 3
+ 2 = 5 3 + 1 + 1 = 5 2 + 2 + 1 = 5
5 - 1 = 4 5
– 2 = 3 1 + 1 + 3 = 5 2 + 1 + 2 = 5
5 – 4 = 1 5
– 3 = 2
Trabajando el
conjunto de esta forma, al niño se le aclarará que la cantidad permanece
constante (conservación) a pesar de su separación en distintas partes y al
ordenamiento de sus partes en distintas formas, ya que no hemos aumentado el
número de unidades, ni hemos quitado unidades. La comprensión de la
invariabilidad de la cantidad o la conservación del número de unidades de la
cantidad, a pesar de la separación en distintas formas, es una de las señales
más importantes del desarrollo del concepto de número.
Los cinco objetos en
el grupo arriba mencionado pueden estar dispersos o juntos; ser de distintos
tamaños, formas, colores; es más, pueden ser de distintas clases (piedras,
chapitas, naranjas, plátanos), pueden ser trasladados de un lugar a otro. En
todos los casos la cantidad no cambiará porque el número de unidades no ha sido
cambiado.
c) Noción relacional
Con todas las
ventajas que tiene el desarrollo del concepto de número y de conservación de la
cantidad, existe una desventaja y es que todo el tiempo nos ocupamos de la
misma cantidad sin relación alguna a otras cantidades. Necesitamos abordar las
relaciones de desigualdad entre los diferentes números y las posibilidades de
producir igualdades.
Para el aprendizaje
de la noción de relación, hay que relacionar el número con otros números: “¿En
cuánto es mayor 7 que 6?” “¿En cuánto es menor 9 que 12?” Este es el
significado de relación entre dos números.
Si ordenamos en una
fila 7 sillas y paramos enfrente a 5 niños, cada uno frente a una silla,
tendremos 2 conjuntos: conjunto de niños y conjunto de sillas. Si frente a cada
uno de los elementos de un conjunto hay siempre uno y solamente uno del otro
conjunto, decimos que existe una relación biunívoca. En nuestro ejemplo hay un
niño frente a cada silla solamente hasta la quinta silla, pero hay 2 sillas
frente a las cuales no hay niños. No hay pues relación biunívoca entre sillas y
niños.
Por medio de
operaciones como éstas con objetos, dibujos, mondadientes, bolitas, piedras,
chapitas y regletas, el niño adquirirá la noción de igualdad y desigualdad. A
la hora de la comparación hay que plantear una serie de preguntas para el
aprovechamiento completo de la operación: ¿dónde hay más?, ¿cuánto más?, ¿dónde
hay menos?, ¿cuánto menos?, ¿qué haremos para que sean iguales? Después de
obtener una igualdad entre los dos conjuntos, preguntaremos nuevamente: ¿cómo
fue antes?
Al comienzo hay que
comparar conjuntos de objetos, luego cantidades y números y colocar entre ellas
<, > ó =.
O O O
= 5 < 7 3
= 3
O O O O O
y después expresiones
como:
1 + 7 < 10 2 + 6 > 5 + 1 10 - 4 > 3 + 2 2
x 4 + 1 = 6 + 3
En el enfoque
matemático de la enseñanza del cálculo hay que acentuar mucho las igualdades y
las desigualdades para el desarrollo de la comprensión de las ecuaciones y las
inecuaciones.
ENSEÑANZA
DE LAS CUATRO OPERACIONES MATEMÁTICAS
Hasta ahora vimos que no se puede alcanzar el
concepto de número sin conocer sus varios significados. Por ejemplo, los
significados del número 10 no solo incluyen a los sumandos del 10 sino también
a la resta de cada subconjunto del 10.
9
+ 1 1 + 9 10 – 1 10 - 6
8
+ 2 2 + 8 10 – 2 10 - 7
7
+ 3 3 + 7 10 – 3 10 - 8
6
+ 4 4 + 6 10 – 4 10 - 9
5
+ 5 10
- 5
También a la descomposición en los factores y
divisores del 10 y las relaciones lógicas entre ellos, como:
5 x 2 = 10 2
x 5 = 10 10 : 2=5 10 : 5 = 2 ½ x 10 = 5 1/5 x 10 =
2
Según esto, el programa de estudio desde el
primer grado debe incluir a las operaciones de multiplicación y división, en el
nivel inicial de ellas, así como las fracciones para la obtención de partes del
conjunto.
Las 4 operaciones matemáticas se estudian en
2 ciclos concéntricos:
- suma y resta juntas
- multiplicación, división
y fracciones de conjuntos juntos.
1.
Combinar operaciones es posible por medio del uso de la propiedad conmutativa de
la suma y la multiplicación, la propiedad de la inversión entre suma y resta y
entre multiplicación y división. Estos principios sacan a la operación
matemática de su aislamiento, y en vez de enseñar una sola operación con
entrenamiento y ejercitación unidireccional, hay que enseñar las operaciones y
sus inversas. Así se desarrolla en el niño sus habilidades intelectuales,
señales del pensamiento matemático tales como las capacidades de asociatividad
y reversibilidad. En estos dos ciclos concéntricos veremos el entrelazamiento
de las operaciones.
a)
Una primera etapa en la enseñanza de la suma y la resta, es la descomposición
del conjunto en subconjuntos, en todas las formas posibles y su composición
posterior.
b) Una
segunda etapa será la unión de conjuntos distintos. En un plato hay naranjas y
en otro mandarinas. Las juntaremos en un solo plato.
c) Tercera
etapa: suma avanzando y resta retrocediendo. Avanzaremos desde la 3ra casa 4
casas más; de la 6ta página del libro 3 páginas más. También en la recta
numérica avanzando y retrocediendo.
2. La
primera etapa en la enseñanza de la multiplicación y la división será la
descomposición del conjunto en conjuntos iguales.
4 + 4 = 2 x 4 3 + 3 + 3 = 3 x 3 2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2
Los niños se formarán
en filas de 2, de 3, de 4. ¿Cuántos niños hay en una fila? ¿Cuántas filas hay?
¿Cuántos niños hay en total? Hay que acostumbrar a los niños a las dos formas
de expresar lo ocurrido: la suma de conjuntos iguales: 4 + 4 = 8 y la
multiplicación 2 x 4 = 8.
Los niños ordenarán
12 huevos en un molde de 3 filas iguales. Las expresiones a anotar serán:
Dos sumas con
sumandos iguales: 4 + 4 + 4 = 12 3
+ 3 + 3 + 3 = 12
Dos multiplicaciones: 3
x 4 = 12 4 x 3 = 12
De aquí pasarán a la
división:
¿Cuántos cuartetos
hay en 12? 12 : 4 = 3
¿Cuántos tríos hay en
12? 12 : 3 = 4
Luego, la expresión
de parte de la cantidad:
En una de las 3 filas
hay 1/3 de 12 huevos; 1/3 x 12 = 4 ó en notación inversa 4 = 1/3 x 12.
En una
de las columnas hay 1/4 de 12 huevos: 1/4 x 12 = 3 y en notación inversa: 3 = ¼
x 12
ESCRITURA
DE NÚMEROS Y EXPRESIONES
Es deseable que durante un largo tiempo, el
niño anote expresiones de operaciones reales que fueron hechas por él y no
expresiones vagas o no hechas por él.
El alumno pone delante de sí nueve palillos y
los ordena en parejas. Escribirá:
(4
x 2) + 1 = 9 ó
2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 9 etc.
Tres momentos habrán en cada operación: (1)
manipulación o ejecución, (2) expresión oral o recitación correcta de lo
relevante a la operación, (3) escritura de las expresiones.
ENUNCIADOS
Y ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Los enunciados pueden ser verdaderos o
falsos. Una ecuación no es un enunciado porque le falta un número que se
desconoce.
a) Ejemplo de enunciados verdaderos:
Desigualdad
verdadera: 3 < 6
Igualdades
verdaderas: 7 = 2 x 3 + 1; 8 = 2 x 4 2 + 3 = 5
b) Ecuación o inecuación es una expresión en
la cual falta un dato. Ejemplo:
3
+ Z < 8 2 + Z = 5 8 = Z x 4
c) Si
en la ecuación o inecuación se anota un número adecuado en lugar de la letra Z,
ésta se convertirá en un enunciado verdadero:
3
+ 4 < 8 2 + 3 = 5 8 = 2 x 4
d) Si
en la ecuación o inecuación se escribe un número no adecuado en lugar de la
letra Z, ésta se convertirá en un enunciado falso:
3
+ 9 < 8 2 + 4 = 5 8 = 8 x 4
APRENDIZAJE
MANIPULATIVO
El aprendizaje de la estructura, es decir la
enseñanza de principios, conceptos y nociones de la matemática, está
relacionado con la enseñanza manipulativa. El descubrimiento de las propiedades
conmutativa, distributiva y asociativa es posible creando situaciones
cuantitativas concretas adecuadas. Si se saca del método la fase manipulativa,
se saca el alma del aprendizaje de la estructura.
La manipulación es el manejo con las manos,
de objetos concretos o de dibujos de objetos del mundo, o de rectas numéricas o
de símbolos. El uso de todos estos elementos para contar, comparar,
identificar, descomponer, componer, completar, etc., constituye la primera
etapa en cada unidad de aprendizaje. En cada clase habrá una extensa
manipulación con objetos, bolitas, palillos, dibujos o representaciones de
objetos y al final con rectas numéricas.
La manipulación es apropiada si es graduada
en el sentido de la percepción y si es multifacética y variada. Hay que usar
distintos objetos, uno detrás de otro, para que el niño ignore la especificidad
de cada clase de objetos y descubra lo común en todas las operaciones en el
sentido matemático. Esta es la forma aconsejable para los procesos de interiorización
y generalización.
El peligro de los textos y cuadernillos de
trabajo es que en lugar de la manipulación con objetos concretos, los niños
aprenden de frente con dibujos que representan objetos; es decir; ellos saltan
la primera y más importante etapa en la enseñanza de la matemática
significativa.
El libro (al igual que las TICs) es un
instrumento y aparecerá solamente en la etapa de conclusión y de ejercitación y
no en la fase de aprendizaje de algo nuevo. Las demostraciones del profesor
tampoco pueden reemplazar la manipulación de cada niño.
La psicología del aprendizaje acentúa las ventajas
de las enseñanzas manipulativas concreta, en el sentido de la concentración y
la atención de los alumnos y sus impresiones; así como la posibilidad del
autodescubrimiento del niño.
Las enseñanzas manipulativas concretas plantean
obligatoriamente el problema de los medios de apoyo o de ayuda. Las clases de
medios no determinan las formas de enseñanza y su eficiencia, sino las formas
de uso. Se pueden usar los medios para la enseñanza de técnicas de cálculo que
lleven a la mecanización, lo cual no es un uso correcto. El uso que desarrolla
un razonamiento lógico es un uso correcto.
Debemos preocupamos por impartirles a los
niños hábitos de trabajo y agilidad en la manipulación de los objetos.
DIAGNÓSTICO
Y SEGUIMIENTO
El desarrollo de los temas del curso debe ser
acompañado por un seguimiento sistemático. Cada día pero especialmente cada semana
debe verificarse los avances, logros y dificultades de los niños. También al
finalizar el estudio de cada cantidad (número) se debe examinar el material
asimilado por los alumnos. Cada falla o falta de comprensión que se descubra,
requiere atención inmediata para evitar que el retraso se acumule en un alumno,
en un grupo o en el grupo total.
Debe ser posible llevar a cabo una pedagogía
diferenciada para ayudar a quienes se están retrasando sin olvidar a quienes
están avanzando y pueden profundizar más. La preparación de materiales diversos
y del banco de actividades proporciona un valioso apoyo a las actividades
diferenciadas dentro del aula.
Todos los niños pueden desarrollar
capacidades y alcanzar las competencias propias de las matemáticas manteniendo
siempre las relaciones con la realidad circundante y reflejándola mediante el
lenguaje matemático, sus conceptos y propiedades. Dependerá del profesor
encontrar el camino apropiado, elegir los materiales convenientes, diseñar las
actividades necesarias y suficientes para sus alumnos, y determinar los
procedimientos e instrumentos de evaluación para alcanzar la gran meta: que sus
alumnos conozcan la estructura de la matemática y su relación con el mundo
real.
